Áreas de Concentración

Las áreas de concentración constituyen medios para promover que los estudiantes de posgrado se desenvuelvan en un ambiente fértil de interacción y excelencia académica que les permita realizar trabajo de investigación dinámico y de alto nivel en donde podrán participar en seminarios temáticos semanales, minicursos de investigadores visitantes y eventos académicos nacionales e internacionales que tienen lugar en las instalaciones del Centro. Asimismo, dentro de cada área de concentración el estudiante será formado como investigador con bases teóricas fuertes y con conocimiento de frontera en alguna línea especializada que permita que el producto final, la tesis doctoral, incluya aportaciones novedosas en esa línea de investigación.

Un área de concentración se concibe como un conjunto integrador de actividades de investigación, grupos de trabajo, cursos, seminarios, programas y actividades generales que giran en torno a un gran tema centralizador. Actualmente, en el área de probabilidad y estadística en el CIMAT se identifican cinco áreas de concentración:

Teoría de probabilidad

La teoría de la probabilidad es una rama de las matemáticas que sirve para entender fenómenos naturales así como sociales, en donde existe incertidumbre y/o aleatoriedad. Actualmente, la probabilidad juega un papel importante en muchas áreas de la ciencia y tiene una interacción fuerte con otras áreas de las matemáticas tales como ecuaciones diferenciales, análisis, combinatoria y topología.

En el CIMAT el grupo de probabilidad consta de 10 investigadores, que junto con los 3 investigadores del Departamento de Matemáticas y el Departamento de Economía y Finanzas de la Universidad de Guanajuato, hacen de Guanajuato un referente nacional en el área.

Las líneas de investigación que se desarrollan en CIMAT son muy amplias, de las cuales algunas de las siguientes son representativas del grupo:

  • Control estocástico
  • Ecuaciones diferenciales parciales estocásticas y Superprocesos
  • Gráficas aleatorias y Topología estocástica
  • Matrices aleatorias y Probabilidad libre
  • Procesos de Lévy, de ramificación, de coalescencia y otros modelos estocásticos en biología.

Atendiendo a los objetivos del grupo, el CIMAT ofrece el área de concentración en Teoría Matemática de Probabilidad, como una opción dentro de la Maestría en Ciencias con especialidad en Probabilidad y Estadística, en donde los estudiantes llevarán cursos básicos de probabilidad y estadística en el primer año, mientras que se especializarán en aspectos teóricos de probabilidad en el segundo.

Algunos de los cursos que se han ofrecido en la maestría y doctorado relacionados con el área de concentración son: Cálculo Estocástico, Procesos de Lévy, Procesos de Markov, Matrices Aleatorias, Tiempos Locales y Teoría de Excursiones, Teoría Ergódica, Teoría de Ramificación, Coalescencia y Fragmentación, Integración Estocástica para Semimartingalas, Gráficas Aleatorias, Probabilidad y Combinatoria.

Teoría estadística

Los aspectos teóricos de la Estadística, basados en la Teoría de Probabilidad y otras áreas de la Matemática, sirven de base a los métodos y técnicas estadísticas. Desde principios del siglo pasado, y especialmente a partir de su segunda mitad, el impresionante desarrollo de la Estadística ha motivado problemas de complejidad creciente, que han planteado la elaboración de metodologías de análisis y modelación que requieren de muy diversas herramientas matemáticas para su fundamentación y para la comprensión de sus virtudes y posibles limitaciones en la aplicación a problemas concretos.

El Área de Concentración en Teoría Estadística busca fomentar la investigación en problemas teóricos de la Estadística que resultan novedosos y relevantes para el desarrollo de la disciplina y para enfrentar los nuevos retos que a ella plantean la ciencia y la tecnología. Con este propósito, fomenta relaciones de investigación tanto multidisciplinarias como interdisciplinarias entre la Estadística y otras disciplinas de la matemática, especialmente la Teoría de la Probabilidad. Sobre esta base, pretende también contribuir a la formación de estudiantes de doctorado como investigadores capacitados, creativos y abiertos a la colaboración.

Históricamente, la Estadística siempre se ha nutrido de problemas planteados por otras ramas del conocimiento y en la actualidad esta interacción plantea desafíos novedosos. Las áreas de concentración de Modelación estocástica e inferencia en ciencias, industria y tecnología, de Probabilidad e inferencia estadística en ciencia de datos, y de Finanzas y riesgo constituyen ejemplos vigorosos de contextos que generan problemas de investigación básica en materia de teoría estadística con orígenes temáticos diversos. Entre los retos emergentes de interacciones multidisciplinarias cabe mencionar el desarrollo de la estadística para nuevos espacios muestrales asociados a datos complejos como son espacios funcionales,  variedades y espacios topológicos; la estadística para parámetros de dimensión no finita; y la estadística de datos masivos y de alta dimensión.

Dentro del área de Probabilidad y Estadística del CIMAT, se destacan líneas de investigación estadística teórica en los siguientes temas:

  • Análisis de datos funcionales
  • Métodos estadísticos para problemas inversos
  • Datos complejos: Campos aleatorios, estadística sobre variedades, estadística en análisis topológico de datos, y estadística de redes
  • Control estadístico
  • Inferencia estadística con muestras moderadas y pequeñas
  • Métodos de inferencia con cómputo intensivo
  • Simulación y análisis estadístico de sistemas dinámicos aleatorios
  • Clasificacion y regresion en alta dimension 
  • Desigualdades de concentración.

Con base en estas líneas se han formado a diversos estudiantes mediante tesis de licenciatura, maestría, y doctorado; provenientes de nuestra institución así como de varias universidades del interior del país y del extranjero.

Los cursos básicos de maestría en esta área de concentración son Estadística Matemática I y II, Inferencia Estadística I y II, y para el doctorado Teoría Asintótica en Probabilidad y Estadística. Como cursos optativos, en años recientes se han ofrecido cursos de maestría y doctorado en Análisis de Datos Funcionales, Inferencia Estadística para Datos Complejos, Estadística No paramétrica, Probabilidad y Estadística en Análisis Topológico de Datos, Estadística Bayesiana, Métodos de Monte Carlo para Estadística, Inferencia Estadística en Procesos Estocásticos, Teoría Asintótica, Series de Tiempo y Análisis Multivariado, entre otros. 

Modelación estocástica e inferencia en ciencias, industria, y tecnología

La modelación matemática ha estado presente en la ciencia de manera muy patente desde su origen. Debido a que en la observación de la naturaleza participan inevitablemente aspectos aleatorios, cada vez adquiere más relevancia la incorporación de modelos no determinísticos en investigación en Física, Biología, Química, Ingenierías, etc. Por modelos no determinísticos o estocásticos entendemos las descripciones matemáticas de componentes aleatorios en fenómenos diversos. Típicamente, estas descripciones están basadas en teoría de probabilidad, cuyos parámetros regulan los modelos que describen la naturaleza aleatoria de dichos fenómenos.  Estos modelos estocásticos han mostrado también gran importancia en el desarrollo tecnológico en la industria y la toma de decisiones en gobierno y empresas privadas.

Cuando se tiene registro de observaciones físicas de un fenómeno aleatorio, se está frente a un problema de inferencia estadística.  Éste consiste en saber acerca de los parámetros desconocidos y realizar aseveraciones cualitativas y cuantitativas científicamente sustentadas acerca de la situación bajo estudio. Lo anterior conlleva a la importante tarea de cuantificación de incertidumbre asociada a tales aseveraciones.

Esta área de concentración abarca de manera integral la modelación e inferencia descritas,  tomando en cuenta aspectos teóricos, cuestiones de implementación, cómputo científico e inferencia en problemas reales de vinculación tanto científica como con los sectores gobierno, servicios e industria. En la actualidad se generan datos de muy diversa índole y en grandes cantidades, y surgen problemas con altos grados de complejidad. Por ello se genera un gran dinamismo  entre áreas de investigación en probabilidad y estadística y las aplicaciones. Es más común que la modelación estadística tome en cuenta conocimiento especializado en otras materias y que con ello se originen diversas interacciones multidisciplinarias. 

El área de probabilidad y estadística del CIMAT tiene una tradición duradera en cuanto a colaboraciones con diversas instituciones públicas, institutos de investigación, universidades nacionales y del extranjero, y empresas privadas para afrontar problemas de investigación motivados por cuestiones originadas en una gran diversidad de áreas del conocimiento. La experiencia histórica acumulada radica en temas de ecología, medicina, física, biogeografía, epidemiología, salud pública, gobierno, ciencias sociales, producción industrial, biología molecular, neurociencias y genética, entre otras.

Las aptitudes de los estudiantes de doctorado que se desean fortalecer para enfrentar temas de investigación en esta área, se atienden a través las materias distintivas tales como Cómputo científico para probabilidad y estadística, Análisis estadístico y análisis de datos complejos (datos funcionales, alta dimensionalidad, redes, formas, datos en variedades), Teoría asintótica para probabilidad y estadística, y Confiabilidad, Control estadístico de procesos y diseño experimental.

En el área se cultivan temas de investigación en materia de probabilidad y estadística que son motivadas por problemas específicos derivados de interacciones interdisciplinarias. Este proceso requiere del desarrollo de modelos estocásticos específicos al problema que incorporan conocimientos generales de las otras áreas de investigación involucradas, para luego evaluar las cualidades de la inferencia estadística que se obtiene. Algunos de estos problemas concretos originados de esta manera nutren naturalmente las áreas de concentración de Teoría de probabilidad en la fase de modelación, y de Teoría estadística en la fase de inferencia en la medida en que los planteamientos derivados son eminentemente abstractos. Algunos de los temas recientes que han dado lugar a investigación teórica en estadística incluyen:

  • Paleoecología
  • Neurociencias
  • Genética
  • Ecología: biodiversidad, análisis de extinciones, riqueza y abundancia de especies.
  • Biogeografía: distribución geográfica de especies con base en observaciones de presencias; relaciones riqueza-clima.

Con base en estas líneas se han formado a diversos estudiantes mediante tesis de licenciatura, maestría, y doctorado; provenientes de nuestra institución así como de varias universidades del país y del extranjero.

Los cursos básicos  de maestría en esta área de concentración son los del primer año de la maestría: Estadística Matemática I y II, Inferencia Estadística I y II. Para el segundo año recientemente se han ofrecido cursos de Confiabilidad, Control Estadístico de Procesos, Series de Tiempo, Valores Extremos, Diseño de Experimentos, Análisis de Supervivencia, Ecología Estadística y Análisis de Supervivencia.  Estos cursos son también para estudiantes de doctorado en esta área de concentración.

Probabilidad e inferencia estadística en ciencias de datos

Ciencia de datos es un nuevo campo que surge con el objeto y la necesidad de obtener información valiosa y útil de la complejidad, incremento y diversidad de datos de la modernidad. Ejemplos de estos datos aparecen en imágenes médicas, vidéos, expresiones genéticas, series financieras, internet, redes sociales, física, redes biológicas, astronomía, entre otros tipos de datos modernos.

Su estudio y comprensión requieren de un enfoque multidisciplinario en las que intervienen, entre otras, las ciencias de la computación, las matemáticas y la probabilidad y la estadística. Los retos en estas disciplinas son explorar, entender, analizar, modelar matemáticamente, y predecir información valiosa a partir de estos nuevos datos. 

En particular, a las disciplinas de probabilidad y estadística les plantea el modelar estocásticamente e inferir estructura a partir de datos que son objetos complejos como los de alta dimensionalidad, funciones, imágenes, gráficas, y redes. Por estructura, entendemos, entre otras características, las formas geométricas y propiedades topológicas de los datos. Este estudio de estructura es agravado por el volumen de los juegos de datos modernos, y da lugar a el entendimiento del contexto del fenómeno estudiado para poder buscar respuestas a preguntas que posiblemente aún no se han formulado, al uso eficiente de algoritmos computacionales para resolver los problemas, así como a la visualización de la información y el reconocimiento de patrones. 

Ante la oportunidad y como respuesta a una demanda de formación de recursos humanos con formación matemática que aborden estos problemas, en 2016 se crea el área de concentración en Probabilidad e Inferencia Estadística en Ciencia de Datos, como una opción de la Maestría en Ciencias con especialidad en Probabilidad y Estadística. Esta área de concentración tiene la característica de que es transversal a algunas temáticas, investigadores, y cursos de otras áreas de concentración del posgrado de probabilidad y estadística, y se complementan con otras de las áreas de ciencias de la computación y matemáticas en el CIMAT. Siendo un área emergente, algunas de las líneas de investigación que ya existen tenderán a combinarse con otras líneas para dar lugar a líneas multidisciplinarias en ciencia de datos.

Ya se han comenzado a formar estudiantes en algunas de estas líneas mediante tesis de licenciatura y maestría; se espera que pronto se haga en el doctorado y que esta opción para matemáticos sea atractiva para estudiantes provenientes de nuestra institución así como de varias universidades del país y del extranjero.

Los estudiantes de maestría llevarán cursos básicos de  probabilidad y estadística en el primer año, mientras que para el segundo año existen varias opciones.  En el tercer semestre los estudiantes llevan dos cursos obligatorios específicamente diseñados para esta área de concentración: Elementos de Ciencia de Datos y Modelos de Probabilidad Discreta a Gran Escala. 

Para completar cursos de esta área de concentración se tienen los que la maestría de probabilidad y estadística ha ofrecido recientemente en temas importantes de estas dos disciplinas para ciencia de datos, como Análisis Multivariado, Inferencia Estadística para Datos Complejos, Estadística Computacional, Inferencia No Paramétrica, Matrices Aleatorias, Gráficas Aleatorias, y Probabilidad y Estadística en Análisis Topológico de Datos. 

Estos se pueden complementar con cursos del Posgrado de Ciencias de la Computación como Reconocimiento Estadísticos de Patrones, Cómputo de Alto Rendimiento, y Computación Gráfica, entre otros. También recientemente, el Posgrado de Matemáticas ha ofrecido los cursos de Topología Computacional y Topología para Computación y Estadística, y se vislumbra que en un futuro se ofrezcan cursos de  Análisis Geométrico de Datos y Análisis Algebraico de Datos.  

Los estudiantes de doctorado a quienes les interese esta área de concentración tienen, además del curso obligatorio de Computación Científica en Probabilidad y Estadística, una variedad de opciones entre los cursos arriba mencionados, dependiendo de sus intereses y sus antecedentes. 

Finanzas y riesgo

El área de concentración de finanzas y riesgo ha sido una de las más antiguas en el Departamento de Probabilidad y Estadística en el CIMAT. Está enfocada en el desarrollo de herramientas teóricas y aplicadas para estudiar problemas en finanzas y en seguros.

El área de finanzas y riesgo en el CIMAT está integrada por un núcleo de al menos 10 investigadores que incluyen investigadores del CIMAT, y del Departamento de Matemáticas y Economía de la Universidad de Guanajuato. Varios de nuestros estudiantes se han incorporado en puestos de análisis y modelación financiera en instituciones bancarias, aseguradoras y consultorías de renombre, así como en puestos académicos de universidades nacionales y extranjeras.

Algunas de las líneas tanto teóricas como aplicadas que han sido desarrolladas por los investigadores del área que incluyen:

  • Modelación estocástica en finanzas y seguros
  • Control y juegos estocásticos con aplicaciones en modelos financieros
  • Inferencia estadística de datos financieros (cópulas, series de tiempo)
  • Fluctuaciones de procesos de Lévy y sus aplicaciones en modelos de aseguradoras
  • Modelación de medidas de riesgo en finanzas y seguros.

Con base en estas líneas se han formado a diversos estudiantes mediante tesis de licenciatura, maestría, y doctorado; provenientes de nuestra institución así como de varias universidades del interior del país y del extranjero. Las líneas de investigación reflejan el carácter multidisciplinario de esta área de concentración, pues el análisis y solución de problemas financieros y de seguros requiere una formación sólida en diversas áreas de matemáticas, incluyendo, por supuesto, estadística y probabilidad.

Asimismo, se han organizado varios talleres, congresos, escuelas, y veranos de investigación así como otros foros nacionales, e internacionales, donde se han promovido e impulsado varios temas de interés actual en esta área de concentración. Algunos de los cursos que se ofrecen de manera regular son: Modelos Estocásticos en Finanzas, Teoría de Riesgo y Optimización de Portafolios.